Homología relativa Gorenstein Graduada

El contenido de esta tesis doctoral se encuadra dentro del Álgebra Homológica, que, como se ha demostrado a lo largo de los últimos años, es una base para la obtención de resultados importantes en Teoría de Anillos y Geometría Algebraica. El objetivo es desarrollar una teoría homológica relativa para el caso graduado. El interés de los anillos graduados en Álgebra Conmutativa viene dado por su relación con la Geometría Algebraica Proyectiva. Durante los últimos años ha habido un considerable interés sobre diversos aspectos de anillos graduados no conmutativos, así como desarrollar una Geometría Algebraica no Conmutativa.
En el primer capítulo se da una introducción al estudio de anillos graduados y cubiertas. El segundo comienza con la tarea de elegir una clase de anillos graduados sobre los que podamos establecer un marco adecuado de estudio. Lo primero que pediremos será que el anillo sea gr-noetheriano, lo que garantiza la existencia de cubiertas gr-inyectivas, con toda la "maquinaria homológica" que ello supone. Además se exige la finitud de la dimensión autoinyectiva a ambos lados del propio anillo (como módulo graduado), lo que proporciona una cota para las dimensiones homológicas graduadas (en caso de ser finitas) de cualquier módulo graduado sobre estos anillos. De este modo, se consigue además que esta nueva clase de anillos graduados generalice a la importante clase de anillos Gorenstein. Son los que llamaremos anillos gr-Gorenstein. Una vez establecida dicha clase de anillos graduados se aborda el estudio de los módulos gr-inyectivos Gorenstein y gr-proyectivos Gorenstein.
Éstos son caracterizados en el contexto de los anillos gr-Gorenstein, convirtiéndose en módulos gr-inyectivos y gr-proyectivos respectivamente relativos a la clase de módulos graduados de dimensiones homológicas graduadas finitas. Siguiendo la filosofía del estudio de los anillos graduados, se establece una conexión entre la teoría graduada aquí estudiada y la no graduada ya existente.
En el tercer capítulo se completa esta teoría homológica graduada con el estudio de los módulos gr-planos Gorenstein. Dicho estudio se lleva a cabo en un caso más general que el de los anillos gr-Gorenstein: los llamados anillos gr-FC. La generalización inmediata del concepto de anillo gr-noetheriano es el de gr-coherente. Asímismo generalizamos el concepto de módulo gr-inyectivo al de FP-gr-inyectivo, con lo que ahora se exige dimensión FP-gr-inyectiva finita en lugar de la gr-inyectiva. Al igual que ocurre con lo estudiado en el capítulo 2, se busca la relación existente entre los casos graduado y no graduado. El segundo gran problema abordado en esta tesis es la existencia de cubiertas y envolventes por las clases de módulos anteriormente citados. Otras cuestiones interesantes tratadas en el cuarto capítulo son las siguientes: dado un módulo graduado, ¿cómo están relacionadas la envolvente inyectiva Gorenstein (respectivamente la cubierta proyectiva o plana Gorenstein) como módulo y la envolvente gr-inyectiva Gorenstein (respectivamente la cubierta gr-proyectiva o gr-plana Gorenstein) como módulo graduado? En segundo lugar, ¿es posible obtener una cubierta o envolvente en la categoría de módulos graduados por estas clases de módulos a partir de una conocida del mismo tipo en la categoría de módulos y viceversa? Y finalmente, ¿son equivalentes la existencia de cubiertas y envolventes (siempre por estas clases de módulos) en ambas categorías?
En el último capítulo se extiende este trabajo a otra categoría de Grothendieck importante como es la de comódulos sobre una coálgebra. La motivación viene dada por el siguiente hecho: los objetos inyectivos en esta categoría pueden ser definidos de la forma habitual, pero también pueden ser caracterizados en términos de un funtor propio de la categoría denominado producto cotensor. De este modo nos preguntamos si la teoría de objetos inyectivos Gorenstein puede ser desarrollada en este tipo de categorías de la forma realizada hasta el momento, así como si dichos objetos inyectivos Gorenstein, que generalizan a los objetos inyectivos, pueden ser caracterizados también mediante el producto cotensor.